Родился 4 сентября 1972 года в Ленинграде.

В 1994 году окончил геологический факультет Санкт-Петербургского государственного университета.

В 1997 году защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата геолого-минералогических наук, в 2002 году стал доктором геолого-минералогических наук.

Лауреат Премии Президента Российской Федерации в области науки и инноваций для молодых ученых за 2008 год.

В 2015 году – профессор РАН, в 2016 году – член-корреспондент РАН, с 2022 года – академик РАН.

С 2017 года – генеральный директор Федерального исследовательского центра Кольский научный центр РАН.

В числе основных научных достижений С.В. Кривовичева открытие и научное описание 34 новых минералов из месторождений России, кроме того, им получено и исследовано более 200 новых соединений, а также ураносодержащих наноматериалов, что способствует решению ряда задач при обеспечении безопасности переработки отработанного ядерного топлива, расширяет научные представления о формах концентрации химических элементов в земной коре и существенно дополняет систематику минеральных видов.

Международная минералогическая ассоциация утвердила в честь С.В.Кривовичева название нового минерала «кривовичевит».